Simetría para imitaciones: teorema de Noether
Einstein la llamó la mujer más importante de la historia de las matemáticas. Su teorema fue reconocido como "Uno de los teoremas matemáticos más importantes que se haya demostrado que ha guiado el desarrollo de la física moderna". Sin embargo, muchas personas no tienen la menor idea de quién era esta mujer, o qué hizo, por lo que significa para nuestra comprensión de cómo funciona nuestro mundo. Si te consideras uno de los que nunca han oído hablar de Emmy Noether y quieres iluminarte, sigue leyendo. Solo puedo esperar que le haga una buena memoria. No solo le dice quién es ella, sino que también le da una comprensión de cómo su comprensión condujo a una unión de la simetría y la teoría cuántica, dirigiendo la flecha de la universidad hacia la electrodinámica cuántica.
Emmy Noether
Ser mujer en Alemania a finales del siglo XIX no fue fácil. No se le permitió inscribirse en cursos de matemáticas. Afortunadamente, su padre era profesor de matemáticas, lo que le permitió sentarse en muchas de sus clases. Hizo uno de sus exámenes finales en 1904 y lo hizo tan bien que recibió una licenciatura. Esto le permitió inscribirse "oficialmente" en un programa de licenciatura en matemáticas. Tres años después, ganó uno de los primeros doctorados otorgados a una mujer en Alemania. Ella solo tenía 25 años.
1907 fue una época muy emocionante para la física teórica, ya que los científicos estaban interesados en calcular cómo interactúan la luz y los átomos. Emmy quería divertirse, pero ser mujer lo hacía difícil. No se le permitió ocupar un puesto de maestra, por lo que trabajó como asistente no remunerada, sobreviviendo con una pequeña herencia y el dinero de la mesa, que ganaba mientras trabajaba para profesores varones cuando no podían enseñar. Sin embargo, pudo hacer lo que se suponía que debían hacer los profesores: escribir artículos. En 1916, ella escribiría el teorema, que empujaría sus fricciones con los otros gigantes físicos y matemáticos de la época.
Teorema de Noether: conceptos básicos
El teorema de Emmy Noether parece simple al principio, pero contiene una verdad fundamental que explica el tejido de nuestra realidad. Dice así:
Para cada simetría hay una ley de conservación respectiva.
Todos hemos oído hablar de leyes como la primera ley del movimiento de Newton, que trata de mantener el impulso. Y la primera ley de la termodinámica, que trata sobre la conservación de energía. El teorema de Noether nos dice que debe haber alguna simetría relacionada con estas leyes de conservación. Antes de entrar en el significado, primero debemos entender un tema algo familiar llamado El principio de mínima acción.
El universo es vago
Apostaría algunas Raspberry Pi Zeros a que muchos de ustedes ya comprenden intuitivamente este principio, incluso si nunca antes han oído hablar de él. El principio de acción mínima básicamente dice que el universo ha descubierto la forma más fácil de hacer algo. Matemáticamente es la suma en el tiempo de la energía cinética menos la energía potencial durante la acción. Imaginemos que está intentando programar una placa de evaluación STM32 Discovery en GCC. Después de alrededor del intento número 6000, arrojas el POS al otro lado de la habitación y captura a tu confiable Uno. El gráfico representa el STM32 moviéndose a través del tiempo y el espacio.
Los puntos verdes representan puntos particulares de la altura del STM32 en un momento definido. Tenga en cuenta que no hay valores para la altura y el tiempo; este ejemplo pretende explicar un principio. Podemos decir que en estos puntos (y en todos los puntos a lo largo de la curva), el SMT32 tiene energías cinética y potencial. Llamemos a la energía cinética (kt) y la energía potencial (pagt). La 'tEl índice es para el tiempo, porque ambas energías son funciones del tiempo. La acción para cada punto se llamará s, y se puede calcular como:
Sin embargo, la acción es la suma total de la diferencia de energías en cada punto entre t1 y t2. Si ha leído mi publicación integrada, sabrá que necesitamos integrar para calcular toda la acción.
Ahora, antes de poner los cables de su camiseta en un grupo, todo lo que dice es que estamos tomando la diferencia de potencial (pag) y cinético (k) energías en cada punto a lo largo de la curva entre t1 y t2y los sumamos. El símbolo S alargado significa suma, y el (Dt) significa cómo cambia con el tiempo. La ruta que tomará el STM32 será la ruta donde la acción S tenga su valor mínimo. Mire el video en la sección de fuentes a continuación si se confunde. Son solo 10 minutos y se adentra en este concepto con detalles fáciles de seguir.
Teorema de Noether: los detalles
El teorema de Noether se basa en pruebas matemáticas. No es una teoría. Su prueba es aplicable a la física para desarrollar teorías. Ahora que sabemos cuál es el principio de mínima acción, podemos hacerlo.
Toda ley de la naturaleza se remonta a la simetría y al principio de mínima acción. Consideremos dos ejemplos muy simples: la primera ley del movimiento de Newton y la primera ley de la termodinámica.
Conservación de Impetus
El espacio tiene lo que se llama simetría de traslación. Es un discurso fantástico, que dice que lo que haces en un punto del espacio es lo mismo que lo que haces en otro punto del espacio. No importa qué espacio de piratería le arroje a su STM32, hará lo mismo en todos los espacios de piratería en la tierra. El espacio en sí da la simetría. Y debido a que se aplica el principio de mínima acción, tienes una ley natural: la primera ley del movimiento.
Conservación de energía
El tiempo tiene la misma simetría traslúcida que el espacio. Si lanzo el STM32 ahora y lo lanzo mañana, hará lo mismo. No importa en qué momento lo lance, los resultados siempre serán los mismos. Por tanto, la energía se conserva entre varios puntos de tiempo. El tiempo es nuestra simetría y el resultado es la primera ley de la termodinámica.
Ahora me doy cuenta de que estos ejemplos pueden parecer un poco inútiles. Pero cuando profundizas un poco más, las cosas se ponen interesantes. También se mantiene la carga eléctrica. Noether dice que entonces debe haber algún tipo de simetría involucrada. ¿Qué crees que podría ser esa simetría? Sigue siguiendo esa madriguera del conejo y terminarás cara a cara con QED. Llegaremos allí en un artículo futuro, así que por ahora solo recuerda el Teorema de Noether.
Fuentes
Physics Helps, el principio de menor rendimiento, enlace de video.
Ransom Stephens, Ph.D., Emmy Noether y The Fabric of Reality, enlace de video
Ingeniero de Backwoods dice:
Muy bien, gracias por eso.
Alex dice:
Muy buen artículo. Espero con ansias el resto de la serie.
Comedias dice:
¡Pensé que era el reloj de Noether!
DV82XL dice:
Realmente fue una comprensión maravillosa.
Jason dice:
¿Tenemos un mapeo completo uno a uno entre cada simetría conocida y cada ley de conservación conocida?
Palmadita dice:
Más o menos.
De hecho, es más simple de lo que piensas: en general, si necesitas preservar algo (que generalmente se llama "corriente conservada"), dices "la derivada de esto es cero", lo que significa que si imaginas integrar eso objeto, devuelve una constante de integración que se puede cambiar libremente y ninguna de las físicas cambia. Esa simetría que cambia esa constante es la simetría.
Dicho esto, el ejemplo "clásico" del teorema de Noether se aplica automáticamente solo a las simetrías continuas, como la rotación, la transferencia, las aceleraciones, etc. Uno que puede mover el sistema en cantidades pequeñas, medianas o grandes. También puede tener simetrías discretas: por ejemplo, inversión de tiempo o igualdad, por ejemplo, donde tiene diferentes estados del sistema idénticos, pero finitos muchos de ellos. Para las simetrías discretas, difiere ligeramente, aunque hay algo similar que es cierto allí, pero no el teorema de Noether.
Pero para todas las simetrías continuas, sí, hay un mapeo uno a uno completo. Es solo matemática para pasar de uno a otro.
Alex Rossie dice:
Si. Bueno, tenemos que hacerlo. Es obvio cuando lo ves en acción.
http://www.lecture-notes.co.uk/susskind/classical-mechanics/lecture-4/symmetry-and-conservation/
Ese enlace también tiene un enlace para susskind haciendo esa conferencia en YouTube.
Simplemente colocar simetría significa que hay una transformación de coordenadas que no cambia la acción.
Por ejemplo, agregando una pequeña cantidad de épsilon a la coordenada t.
El cambio de acción es cero por lo que la cantidad debe mantenerse aquí la carga fraterna. Y por un tiempo eso es energía.
Ludwig dice:
Les daré otro ejemplo, solo por diversión: cuerpos rígidos
Cantidades guardadas:
Para un cuerpo rígido ideal (siempre que pueda llamarse uno), todas sus partículas mantienen la misma distancia de apareamiento.
Simetría:
Traslación y rotación idénticas de los elementos del cuerpo rígido en relación a su posición original.
Palmadita dice:
“El tiempo tiene la misma simetría de traslación que el espacio. Si lanzo el STM32 ahora y lo lanzo mañana, hará lo mismo. No importa en qué momento lo lance, los resultados siempre serán los mismos. Por tanto, la energía se conserva entre varios puntos de tiempo. El tiempo es nuestra simetría y el resultado es la primera ley de la termodinámica. "
Es algo gracioso sobre esto.
Está mal.
De hecho, el universo no conserva energía. Son físicos. El Universo no es vago, los físicos sí lo son. Escribir leyes de la física que dependen del tiempo es molesto, y por eso no lo hacen. Y, en general, el Universo * parece * inmutable en el tiempo, por lo que tiene sentido decir simplemente "no, atorníllelo, es * completamente * inmutable en el tiempo" e ignorar la diferencia.
Pero a escala cosmológica ... no hay tiempo sin cambios. No en la pieza más pequeña. Sabemos esto. Hay un gran remanente de bola de fuego gigante en el cielo cambiado a frecuencias de microondas que nos dice esto todo el tiempo. “Algo sucedió” en el Universo durante los tiempos inflacionarios, y * todos en el Universo * pueden estar de acuerdo sobre cuándo sucedió eso.
Entonces, si el Universo * no * es invariante en el tiempo de acuerdo con las escalas de tiempo cosmológicas, de acuerdo con el teorema de Noether, no conserva energía. Y bueno, no. (También puede extender los mismos argumentos al momento / momento angular: la inflación ha proporcionado un marco de referencia preferido, por lo que todas las cosas bastante felices que se enseñan en la clase de física de la escuela secundaria son, globalmente, del piso al techo).
TheRegnirps dice:
Y cuando obtenga su barco Planed Express, ¡será muy importante! Litera de hecho. ¡Pollywash digo! Consigue un trabajo. Tomo una siesta.
Palmadita dice:
En realidad, esto no es particularmente controvertido, ni siquiera difícil de ver. La la expansión del Universo se está acelerando. Eso no puede suceder si no se alimenta con energía y, a menos que encontremos evidencia de que alguna vez se ralentizará, no hay ninguna ventaja en tratar de agregar campos para conservar energía. Es similar a cuando ocurrió la inflación: tenía que requerir energía, por lo que los físicos inventaron un campo para conservarla.
Esto tampoco se refiere a "energía gratuita" ni nada por el estilo. En una escala no cosmológica, la energía parece bastante bien conservada, por lo que si no averigua cómo manejar toda la inflación causada, o lo que sea que impulse la energía oscura, no lo ayudará en absoluto.
RandyKC dice:
Esta es la dirección en la que estaba yendo mi mente.
¿Podemos asumir que la simetría es válida en un universo en expansión?
¿La suposición de que existe energía oscura es nuestro intento de forzar la simetría en un universo asimétrico? La simetría supondría un sistema estable donde cualquier sistema que tiene un punto inicial de existencia en un punto no es simétrico.Palmadita dice:
"¿La suposición de que existe energía oscura es nuestro intento de forzar la simetría en un universo asimétrico?"
Bien quizás. Si la energía oscura es solo el simple hecho de que el espacio vacío tiene presión negativa, entonces ... sí, lo es. Con ese hecho, el espacio es esencialmente inestable: creas una pequeña parte de él y una explosión se extiende para siempre. Entonces, la idea de simetría temporal o espacial en esa disposición es una tontería. Suficiente materia podría estabilizarlo, obviamente, pero los datos de observación actualmente dicen "no, no es estable".
Pero eso es diferente a decir que la simetría no es válida en un Universo * en expansión *. Aún puede conservar energía con un Universo en expansión, solo tiene que eventualmente volverse estático. En ese caso, obviamente todavía había algo * asimétrico * que causaba que la expansión ocurriera primero (por ejemplo, algo así como una ruptura simétrica espontánea) pero la simetría todavía puede existir en general.
Sin embargo, la energía oscura lo engaña todo. Ahora no tienes idea de qué diablos está pasando.
TheRegnirps dice:
Escribí mal Planet Express o sabrían que me refiero al sistema de conducción del profesor Farnsworth, que hace que el universo se mueva mientras la nave Planet Express permanece inmóvil.
TheRegnirps dice:
Lo curioso es que, hasta hace poco, nunca habrías oído hablar del Teorema de Noether, ni siquiera en un programa de doctorado en física, excepto por un afortunado accidente que vagó por los estantes de la biblioteca. Ahora aparece en respuestas y explicaciones sobre el intercambio de pila física siempre, e incluso HaD. Es bastante poderoso y coincide con otras ideas superarcticas como el hamiltoniano y el lagrangiano, que son geniales.
Elliot Williams dice:
Me especialicé en física como estudiante. Tratamos el teorema de Noether en "Mecánica clásica" (tercer año, hace 23 años). Como dices, es importante en el contexto de la mecánica de Hamilton.
Comedias dice:
Eso es interesante. ¿1993? Es bueno saber que estas cosas están más extendidas. ¡Supongo que para mí “recientemente” ahora se parece más a los 40 años! La única persona que conocí que se ocupó de esto en un curso formal lo obtuvo como estudiante graduado del grupo de teoría en Stanford con Leonard Schiff (quien falleció pronto).
Tesloev dice:
Esto es básicamente lo que requería la teoría de Boscovich 150 años antes de eso (1745).
M. Bindhammer dice:
Kara Will Sweatman,
Lo siento, tengo que criticar tu tutorial sobre teoría de grupos o lo que sea que cubra este tutorial ... Todo el tutorial carece de motivación, notaciones adecuadas, definiciones y corrección histórica. La definición de integral es más que incompleta. Pasas de la A a la Z. No escribas un tutorial sin tener un conocimiento profundo de las cosas que quieres enseñar. Me gustaría ofrecerle la oportunidad de leer esta serie de artículos antes de su publicación.
limroh dice:
Tengo que estar de acuerdo hasta cierto punto.
"El símbolo S alargado significa suma" es lo que me impulsó.
No estoy seguro de si mi comprensión del idioma inglés proviene de (f) o si a la oración le falta algo como "suma de área sobre el área entre ..." ("tamaño del área entre ..." es aún mejor) .
Incluso el mouse sobre me dice que es int (egral).Por otro lado, este no es un artículo científico escrito para ser publicado en un periódico.
Es Sweatman dice:
Hola Markus Bindhammer,
Mi objetivo en los artículos STEM es explicar el tema de tal manera que alguien que nunca haya oído hablar de él pueda realmente entenderlo y hacerlo de una manera divertida. Estoy totalmente en desacuerdo con la idea de que se necesita un "conocimiento profundo" sobre un tema para comprender y enseñar los conceptos básicos. De hecho, ser un experto en un tema a menudo puede dificultar la capacidad de una persona para explicárselo a su novio. STEM Wikis son un gran ejemplo de esto.
Continuaré escribiendo artículos STEM para imitaciones como yo. Hay más de 9000 personas interesadas en estos temas pero que carecen de los antecedentes para comprenderlos. Yo soy su única esperanza.
Alex Rich dice:
Sí, me encanta la accesibilidad de sus artículos y muchos de nosotros encontramos interesantes los trazos extensos de la física sin la necesidad de una “comprensión profunda” de las matemáticas técnicas avanzadas. No es que la comprensión profunda no importe, pero explicar conceptos complejos de una manera que el público en general pueda asimilar es realmente importante. No todo el mundo puede ser matemático o físico a nivel médico. Seguid así.
PWalsh dice:
Quizás en un artículo futuro pueda explicar la simetría que conduce a la conservación del número de bariones, el número de leptones o la extrañeza. Y díganos la entidad conservada asociada con la simetría de medición local.
Además, si realmente nos dice la simetría que causa la conservación de la carga, tenga en cuenta que el universo no obedece a la simetría de carga conjugada (intercambia poscargas con cargas neg), ni observa la simetría de carga pareada (intercambia poscargas con neg cargos, así como una imagen reflejada del diseño).
La teoría de Noether asume una variedad suave, lo que significa que las mediciones (como la posición) pueden tener una precisión infinita. En otras palabras, la posición no se cuantifica, lo que implica que el universo no es computable.
Para decirlo más claramente, suponga que está escribiendo un programa de computadora para simular el universo. ¿Qué tan anchos son los números de coma flotante que representan una posición? Si el teorema de Noether es correcto, necesita una precisión infinita para representar una posición ... pero un número infinitamente largo no se puede calcular en un tiempo finito, por lo que ninguna computadora puede simular el universo si el teorema de Noether es cierto.
La entropía y la energía están relacionadas a través de la temperatura. Si el teorema de Noether es cierto, la posición de cualquier partícula tendría información infinita, por lo tanto, entropía infinita y (si la temperatura es cero) energía infinita.
El teorema de Noether es un buen ejemplo de comprensión matemática, pero fue escrito antes de que Shannon inventara / descubriera la teoría de la información. Se basa en la suposición de que investigaciones posteriores indican que eso no puede ser cierto.
Probablemente sea algo similar a las leyes del movimiento de Newton: cierto para la mayoría de los propósitos, pero no describe la imagen completa.
PWalsh dice:
Por "verdadero" me refiero a la "verdadera representación" de nuestro universo real. El teorema puede demostrarse matemáticamente como verdadero, pero puede que no sea el modelo correcto para usar.
Palmadita dice:
La simetría de conjugación de carga ('C') no es una conservación de carga. Es una simetría discreta que implica tomar todas las partículas e invertir todas las cargas. La conservación de la carga dice que la carga total del sistema permanece constante. Son cosas diferentes.
Palmadita dice:
Además, su argumento "discreto / continuo" no resiste. Existe una diferencia entre las * matemáticas que usa * para representar un sistema y el * contenido informativo * del sistema en sí.
No se puede almacenar información infinita en la energía de una partícula incluso si es * continua, porque es imposible ubicar la energía de una partícula en un valor específico en un momento específico; esa es la incertidumbre de Heisenberg para usted. La información se almacena en el número de * estados * de un sistema, no en los valores especificados. La energía, la posición, el impulso, etc., no son cosas fundamentales reales en las que pueda codificar información.
M. Bindhammer dice:
¡Muy bien, Will!
John dice:
Todas estas teorías deben compensar nuestra incapacidad para percibir que cuando arrojamos la cosa, en realidad está viajando en el espacio-tiempo directo. Culpo a la gravedad.
TheRegnirps dice:
No, tómalo. Si es una masa puntual. De lo contrario, las fuerzas de las mareas le impiden seguir una verdadera geodesia flotante.
crampones dice:
"Ser mujer en Alemania a finales del siglo XIX no era fácil".
Comparado con las mujeres ahora, eso es correcto. En comparación con los hombres de Alemania en ese momento, no estoy totalmente de acuerdo. Al menos estaba protegida de ser el caballo de arado humano de la sociedad y la carne de cañón de todo político ambicioso.
kb dice:
Probablemente no.
Daniel dice:
No había títulos de licenciatura en Alemania antes de la Declaración de Bolonia. Lo que usted llama una licenciatura en la vida de un Emmy es probablemente el Abitur, que es comparable a una licenciatura y una licenciatura francesa.
abad dice:
"" "
Para cada simetría hay una ley de conservación respectiva.Todos hemos oído hablar de leyes como la primera ley del movimiento de Newton, que trata de mantener el impulso. Y la primera ley de la termodinámica, que trata sobre la conservación de energía. El teorema de Noether nos dice que debe haber alguna simetría relacionada con estas leyes de conservación.
"" "En teoría, el teorema que estableciste no dice nada sobre si una ley de conservación tiene necesariamente simetría relativa. (Compárese: "Todos los directores ejecutivos son ricos. Por lo tanto, todas las personas ricas son directores ejecutivos").
No he encontrado ningún otro enunciado del teorema que incluya la conversación ("Para cada ley de conservación hay una simetría correspondiente"), pero este artículo parece utilizar exclusivamente el teorema en este sentido. ¿Es algo que soy? ¿desaparecido?
Palmadita dice:
Así se dice en el artículo, pero la demostración del teorema es reversible. La simetría continua produce una corriente conservada y una corriente conservada genera una simetría continua.
abad dice:
Gracias. Traté de investigar por mí mismo, pero la mayoría de las fuentes rápidamente progresaron demasiado.
Chris dice:
¿Significa esto que tengo que dejar de llamarme vago y empezar a llamarme simétrico?
Palmadita dice:
Es:
"Llamemos a la energía cinética (kt) y la energía potencial (pt). El índice "t" es para el tiempo, porque ambas energías son funciones del tiempo. La acción para cada punto se llamará s, y se puede calcular como: "
En realidad, es una cantidad llamada lagrangiana, no la acción. El lagrangiano es básicamente toda la energía del sistema. Entonces la integral del Lagrangiano a lo largo del tiempo es la acción, y el principio de mínima acción dice que el sistema se mueve de tal manera que la acción no cambia. Entonces los 'pequeños' tienen que ser L, y todo está bien.
Mujer dice:
Pobre placa STM32. La gente siempre tiene miedo de lo que no entiende.
Jegeva dice:
Estoy contigo en eso Donno, deja de maltratar a estos programadores confiables y muy fáciles.
Steve dice:
¿Puedo decir que la bola traza un camino recto en una trayectoria unidimensional a través del espacio-tiempo?
