Nomogramas: calculadoras analógicas complejas simples para todos
A finales del siglo XIX, un ingeniero ferroviario llamado Philbert Maurice d'Ocagne formaba parte de un grupo de hombres que se enfrentaban a la tarea de ampliar el sistema ferroviario francés. Antes de que se pudiera colocar un solo riel, se tuvo que arreglar el camino previsto y nivelar el terreno. Este tipo de ingeniería implica muchos cálculos que determinan dónde se debe agregar o eliminar la suciedad. El propósito de los movimientos de tierra es crear una pendiente suave y minimizar el trabajo requerido para crear los terraplenes de los ríos.
Durante el proyecto, d'Ocagne ideó una elegante solución reutilizable para resolver rápidamente estos cálculos críticos. Lo más impresionante es que lo hizo con poco más de un bolígrafo, papel y una regla. Al desarrollar y utilizar un método que llamó nomografía, d'Ocagne pudo realizar todos los cálculos necesarios que permitieron las suaves curvas y pendientes del ferrocarril francés.
Gráficos interactivos
El término nomograma a menudo se intercambia con ambos nomógrafo y diagrama de alineación. Un nomograma es una especie de gráfico porque es una representación visual de datos. Pero a diferencia de un gráfico, un nomograma es un medio para obtener una solución o algunos otros datos desconocidos. Y la respuesta no se presenta simplemente como en un gráfico. Los nomogramas son una herramienta interactiva.
Los nomogramas funcionan como un recuento de diapositivas porque usan escalas para hacer cálculos. También funcionan con el mismo principio: uno manipula las escalas de entrada y encuentra la variable desconocida en la escala de salida. Pero a diferencia de una calculadora de diapositivas, no existe un nomograma estándar de uso general. Cada uno de ellos está especialmente construido para representar una idea o base de datos específica o intersecciones de bases de datos. Y mientras que las reglas de cálculo usan escalas logarítmicas, los nomogramas pueden usar escalas lineales o logarítmicas según los requisitos de la ecuación.
La verdadera belleza de los nomogramas como solucionadores de problemas está en su diseño. Si varios diseñadores tuvieran la tarea de crear un nomograma para la misma ecuación, sus resultados podrían verse completamente diferentes. Siempre que las escalas estén correctamente construidas, cada una serviría para su propósito con un estilo individual.
En su apogeo, los nomogramas se construían en grandes hojas de papel para que las pequeñas graduaciones pudieran leerse fácilmente. Los nomogramas toman diferentes formas dependiendo de la ecuación o ecuaciones representadas. Pueden ser muy simples y directos, con solo dos escalas de entrada y una escala de salida, o pueden ser curvas y complejas para la resolución de problemas compuestos.
Nomograma para multiplicación simple. Fuente de la imagen: Blood, Dirt and Nomograms: A Particular History of Graphics
¿Cómo funcionan los nomogramas?
Los nomogramas de alineación simples como el de la derecha usan una escala para representar cada variable conocida y otra escala para la variable desconocida. Para utilizar cualquier nomograma, los valores de cada variable conocida deben encontrarse de acuerdo con su escala respectiva. Utilizando estos puntos como guía, se coloca un enderezador o un hilo entre ellos. El punto en el que la línea se cruza con la escala de variables desconocidas da la solución a la ecuación. Una línea creada entre los dos puntos en las escalas de valor de conocimiento se llama índice o isopet.
Quizás la mayor ventaja de los nomogramas es que un lego puede usarlos para resolver ecuaciones o hacer conversiones con poca instrucción. No es necesario que el usuario comprenda o incluso sea consciente de la ecuación de juego usando uno. Los nomogramas pueden ser una excelente ayuda en la enseñanza de matemáticas para los estudiantes atraídos por las ayudas visuales y la exposición práctica.
Puede parecer que no vale la pena el esfuerzo de crear nomogramas. Después de todo, no son calculadoras de uso general y no brindan las soluciones exactas de las computadoras digitales actuales. Pero el humilde nomograma se puede usar repetidamente para problemas comunes, como convertir de Fahrenheit a Celsius o decidir cuánto regar su servidor. Se pueden construir nomogramas para cualquier caso en el que las variables conocidas y desconocidas se puedan representar mediante escalas graduadas.
Gráfico de William Playfair sobre la deuda estatal de Inglaterra. Fuente de la imagen: Princeton
Ingeniería del ferrocarril francés
Un cálculo gráfico no comenzó con el nomograma d'Ocagne. La idea de representar datos gráficamente comenzó a surgir a fines de la década de 1770, más de cien años antes de que d'Ocagne publicara su tratado sobre nomografía. William Playfair, un ingeniero escocés que es considerado el padre de las estadísticas gráficas, creó un gráfico para ilustrar la creciente deuda estatal de Inglaterra durante la década de 1700. Playfair inventaría tanto el gráfico de trazos como el diagrama seccional y se dedicaría a una serie de ocupaciones.
Una de esas ocupaciones fue trabajar con James Watt, un inventor e ingeniero escocés conocido por inventar una máquina de vapor mejorada. Construida a principios de la década de 1770, la máquina de vapor de Watt tenía un indicador que inventaba un gráfico de presión-volumen del vapor dentro de la máquina mientras estaba en funcionamiento.
A finales de 1700, los gráficos aparecieron en Francia como resultado de un impulso para la conversión al sistema métrico. Un fabricante de algodón llamado Louis-Ézéchiel Pouchet respondió al llamado para crear gráficos que ayudarían al ciudadano promedio a realizar conversiones fácilmente sin tener que hacer ningún cálculo. Una versión posterior de su presentación incluyó una representación gráfica de la tabla de multiplicar de Pitágoras, que utiliza la interpolación de curvas dibujadas entre valores de acuerdo con las escalas para evaluar productos matemáticos.
El ingeniero francés Gaspard-Gustave de Coriolis diseñó tablas numéricas que podrían usarse para cortar y completar cálculos para cualquier perfil y pendiente. Las mesas de Gustave eran innovadoras, pero también inconvenientes y limitadas. Cada tabla describía solo una pequeña sección de una cama de riel. Estas tablas fueron mejoradas por el ingeniero francés Léon Lalanne, quien creó tablas gráficas logarítmicas que se podían usar varias veces para varios tipos de perfiles de lecho de ferrocarril. Las tablas de Lalanne proporcionaron soluciones mucho más rápidas.
d'Ocagne llevó los gráficos logarítmicos de Lalanne un paso más allá al separarlos del sistema de coordenadas cartesianas. Tomó prestada la idea de una dualidad de geometría plana proyectiva, que impone la idea de perspectiva en conjuntos de líneas paralelas. Por ejemplo, si tuviera que pararse entre los rieles de una sección recta de la vía de un tren, los dos rieles parecen converger en la distancia. En un plano de proyección geométrico, en realidad convergen en un punto cercano al infinito. El desarrollo gráfico se puede ver en el progreso a continuación; la misma ecuación se expresa de izquierda a derecha mediante un gráfico cartesiano, luego las coordenadas logarítmicas de Lalanne y finalmente el sistema de coordenadas paralelas d'Ocagne.
Fuente de la imagen: sangre, suciedad y nomogramas
Diagrama de Smith para ingeniería de RF. Fuente de la imagen: Teoría de la antena
Las opciones están fuera de la tabla
El nomograma disfrutó de un uso generalizado hasta la década de 1970. Se extendieron desde la ingeniería civil y militar hasta la aeronáutica y otras ciencias. Aunque la nomografía ha bajado en gran medida en términos de herramientas omnipresentes para la resolución de problemas, hay varios campos que se aprovechan de ellas. Los nomogramas se utilizan ampliamente en el campo médico para cosas simples como gráficos de índice corporal y calculadoras de dosis pediátricas, así como escenas más complejas como individualizar la fractura de cadera en hombres y mujeres.
Todos los radioaficionados allí probablemente vieron un gráfico de Smith. Este es un nomograma compuesto diseñado por Philip H. Smith, un ingeniero que trabajó en Bell Labs. Los diagramas de Smith se utilizan en ingeniería de RF para resolver problemas y visualizar interacciones. A la izquierda se muestra un diagrama de Smith completo. En el uso práctico, a menudo se dividen en subconjuntos de escalas. Las aplicaciones típicas de un gráfico de Smith incluyen la adaptación de impedancias y visualizar el punto en el que una reactancia se encuentra con la resistencia en una línea de transmisión.
Nomograma para juegos de guerra. Fuente de la imagen: Proyecto Rho
Los nomogramas también pueden ser útiles para los jugadores de juegos de rol y de guerra. El colorido de la derecha ilustra las diversas distribuciones posibles de armas, defensas y proyectiles para un barco determinado. Hace unos años, un emprendedor Programa Espacial Kerbala creó algunos nomogramas para ayudar al diseño de cohetes.
Nomogramas para siempre
¿Quieres hacer tus propios nomogramas? Eche un vistazo a la wiki de PyNomo, tal como suena: software de generación de nomogramas basado en Python. Incluso si no está interesado en generar nomogramas, hay mucha información detallada sobre su historia, construcción y uso.
Los nomogramas siguen siendo bastante útiles, incluso hoy. Aunque no son la forma más precisa de resolver una ecuación, son rápidos y ofrecen una excelente comprensión visual. Cada nomograma es una computadora analógica totalmente personalizable. Como categoría, son una herramienta útil que merece un gran renacimiento.
Fuente de la imagen principal: Antoine Beauvillain
Fuente de la miniatura: Mis cálculos
Pensador dice:
Los nomogramas viven mucho tiempo después de reglas resbaladizas y otras calculadoras "mecánicas" * en los cálculos de vuelo de aviones y muchas otras aplicaciones que involucran demasiados datos para ingresar fácilmente en una calculadora de bolsillo.
* Sí, sí ... E6B etc.
http://farm2.static.flickr.com/1263/1196208102_4ca3c306b6.jpgTyler dice:
Los usamos con bastante regularidad en nuestras calculadoras de canalización. Herramienta rotativa circular que puede controlar el tamaño del conducto para velocidades y tasas de flujo de aire dadas
Alexander Varakosov dice:
Versión soviética brutal.
Alan Kilian dice:
De hecho, utilicé un diagrama de Ficrometría en el trabajo para un proyecto.
http://www.truetex.com/psychrometric_chart.gif
Es el diagrama más hermoso que he visto (aparte del diagrama de Smith anterior).Sr. X dice:
las unidades imperiales matan la belleza
Pensador dice:
Usamos SI ahora, luego obtenemos letras frías y vaporosas.
Dan dice:
Aún así, una forma muy elaborada de decir que 25C @ 50% de humedad es un lugar agradable.
Willaim dice:
El campo de calefacción y aire también se utilizan para nomografías.
M Taylor dice:
En meteorología, los tefigramas todavía se utilizan para trazar la temperatura frente a la entropía, para los cálculos de estabilidad convectiva o energía potencial convectiva disponible (CAPE).
https://eo.wikipedia.org/wiki/Tephigram
nivvydaskrl dice:
Soy el emprendedor Kerbal Space Program. PyName es lo que usé; se necesita un poco de tiempo para acostumbrarse, pero una vez que lo solucionas, es muy elegante.
¡Es genial ver algo que hice aquí!
RMD dice:
¡Muy genial! Aunque al principio lo leí como "nonogramas" y me pregunté por qué la-tecnologia se convierte en divertidos acertijos de lógica ...
ratshit dice:
quizás suene útil para interiores de computadoras.
aburrido dice:
Usé este tipo de diagrama para calcular el tiempo de fusión del conductor de cobre durante la prueba de alta corriente, nunca nuevos se llamaron nomogramas
Harold Hill dice:
Y luego está el diagrama de Smith doble (impedancia y tolerancia):
http://www.dartmouth.edu/~sullivan/colorsmith.pdfsalsa de alfies dice:
Amo estas cosas ... Nunca supe cómo se llamaban. Una computadora voladora es una rueda redonda tan fascinante que he usado a menudo. Una cosa que realmente aprecio sobre la naturaleza visual de los nonogramas es que puedes ver tu relación respondiendo a todas las otras respuestas a su alrededor. Creo que esto realmente ayuda a las personas a visualizar la relación de causa y efecto con lo que trabaja, y luego le dará una mejor comprensión de lo que realmente sucede, incluso si no comprende las matemáticas detrás de esto. Muy a menudo, nuestra cultura se preocupa por comprender las fórmulas, pero si uno puede simplemente visualizar lo que está sucediendo a mayor escala, las matemáticas pueden volverse innecesarias. No es bueno si nadie entiende las matemáticas detrás de esto, pero puede hacer grandes cosas si tiene un buen conocimiento práctico de los principios que impulsan las matemáticas sin comprender realmente los cálculos.
Ken N dice:
Encuentro que ver una presentación gráfica me ayuda a comprender las relaciones matemáticas mucho más rápidamente. Sigo luchando con la tabla de Smith (esa tabla doble de Smith ... ay) ... ¡pero no me rendí!
¡Gran artículo de HaD! Historia e importancia actual muy interesante y completa (PyNomo).
Avispas dice:
Ayer me encontré con el término y realmente no lo entendí. Todavía se utilizan ampliamente para mostrar el rendimiento de las bombas: cantidad de agua bombeada contra la presión requerida ("altura")
Robar dice:
Gran escritura, Kristina, ¡gracias! Los radioaficionados utilizan los gráficos Smith, pero también los ingenieros de radiodifusión / celular / microondas y en la industria de pruebas y medición de RF para las frecuencias a lo largo del día, desde CC hasta la luz del día. La cantidad de información que se puede transmitir con tanta elegancia en el Cuadro de Smith es impresionante.
Los nomogramas fueron populares en el siglo XX en forma de estas calculadoras de cartón con aspecto de reglas de deslizamiento ... que se utilizan a menudo en la industria y la publicidad ... se pueden encontrar muchos ejemplos en Fleabay por un costo mínimo. Tengo uno en mi oficina hecho por Ohmite (probablemente a mediados / finales de los 40) para calcular la ley de Ohmios más potencia y para determinar qué estilo y tamaño de resistencia de Ohmite se adapta mejor a sus necesidades. Es una hermosa pieza de diseño y el funcionamiento es tan importante hoy como lo era entonces (aunque las resistencias son resistencias). Aquí hay un aspecto similar (no el mío) como referencia: http://www.ebay.com/itm/331670077228
Dave dice:
¡Uno de los mejores artículos que he visto en HaD! ¡Gracias, Kristina!
Rossmarsden dice:
Luego está el nomograma Sverdrup-Munk-Bretschneider
http://oceanservice.noaa.gov/education/lessons/ocean_motion_wksht.html
para "calcular" la altura de las olas del océano (completamente desarrolladas) de la velocidad del viento y la longitud venosa.Miroslav dice:
Artículo hermoso y refrescante.
Skezix dice:
Una técnica útil es utilizar una superposición de plástico con una línea rayada. Se puede fijar un alfiler a través del trazado en el punto de referencia y la línea se puede girar a la siguiente línea de referencia. Esto mejorará enormemente la precisión.
JD dice:
Ron Doerfler tiene un blog que cuenta mucho sobre la historia de los nomogramas e investiga muchas matemáticas para crearlos. Hay una serie sobre "El arte de la nomografía".
http://myreckonings.com/wordpress/
Un ejemplo interesante fue un gráfico hexagonal creado para la Armada francesa para corregir la desviación magnética de las brújulas de navegación en los barcos.
Johan G dice:
Gran serie de publicaciones. Recomiendo mucho leerlos.
Joe Q. dice:
En química práctica, utilizamos nomogramas para predecir el punto de ebullición de líquidos a presión reducida (para destilación al vacío), en función de sus propiedades químicas y sus puntos de ebullición a presión atmosférica.
Dave Vandenbout (@devbisme) dice:
Usé PyNomo para hacer un nomograma de resistor / capacitor para la conferencia OSHW 2012. Sin embargo, no se notó mucho. Probablemente porque no se convirtió en una pistola de goma.
http://www.xess.com/static/media/uploads/blog/devbisme/2012-10-02/toolbox.png
Johan G dice:
Un dispositivo con una apariencia y versatilidad similares a las cartas de Smith, pero con uso en astronomía en el pasado, fue el astrolabio.
Un recurso realmente bueno sobre ellos es http://www.astrolabes.org
RAM dice:
Usamos un nomograma para calcular el tamaño exacto del disco gravitacional para los limpiadores a bordo. Una excelente pieza de lógica excepcional pero simple
