Los circuitos de CA imaginarios no son realmente complejos
Si alguna vez ha leído libros de texto avanzados o artículos sobre electrónica, es posible que se haya sorprendido al ver el uso de números complejos en el análisis de circuitos alternativos. Un número complejo tiene dos partes: una parte real y una parte imaginaria. A menudo he pensado que muchos libros y clases solo piensan un poco en lo que eso realmente significa. ¿Qué parte de la electricidad es imaginaria? ¿Por qué estamos haciendo esto?
La respuesta corta es un ángulo de fase: el tiempo de retardo entre el voltaje y la corriente en un circuito. ¿Cómo puede ser el ángulo el tiempo? Eso es parte de lo que tendré que explicar.
Primero considere una resistencia. Si le aplica voltaje, fluirá algo de corriente, que puede determinar de acuerdo con la ley de Ohm. Si conoce el voltaje inmediato a través de la resistencia, puede obtener la corriente y encontrar la potencia: cuánto trabajo hará la electricidad. Es bueno para corriente continua con resistencias. Pero elementos como condensadores e inductores con corriente alterna no obedecen la ley de Ohm. Toma un condensador. La corriente fluye solo cuando el capacitor se carga o descarga, por lo que la corriente que lo atraviesa se refiere al cambio de voltaje, no al nivel de voltaje inmediato.
Esto significa que si presenta el voltaje de onda sinusoidal contra la corriente, el voltaje pico estará donde la corriente es mínima y el pico de corriente estará donde el voltaje es cero. Puede ver esto en esta imagen donde la onda amarilla es voltaje (V) y la onda verde es corriente (I). ¿Ves cómo la punta verde está donde la curva amarilla cruza el cero? ¿Y la punta amarilla es donde la curva verde cruza cero?
Estas ondas de seno y coseno conectadas pueden recordarle algo: las coordenadas X e Y de un punto se desplazan alrededor de un círculo a una velocidad constante, y esa es nuestra conexión con los números complejos. Al final de la publicación, verá que no es tan complicado y la cantidad "imaginaria" no es nada imaginativa.
Simplifique las suposiciones
Comience con una señal de audio de alguien que esté hablando y colóquela en su circuito. Abunda en diferentes frecuencias que cambian constantemente. Si tuviera un circuito con solo resistencias, podría elegir un punto en el tiempo, encontrar todos los componentes de frecuencia presentes o la amplitud inmediata, derivar las corrientes instantáneas y podría usar técnicas convencionales en él. Solo tienes que hacerlo una y otra vez. Si el circuito involucra inductores o condensadores cuyo comportamiento depende de algo más que el voltaje a través de ellos, esto se vuelve muy difícil muy rápidamente.
En cambio, es más fácil comenzar con una onda sinusoidal en una sola frecuencia y asumir que una señal compleja de muchas frecuencias diferentes es solo la suma de muchos senos simples. Una forma de pensar en un condensador es considerarlo una resistencia que tiene una mayor resistencia a frecuencias más bajas. Un inductor actúa como una resistencia que se amplifica a frecuencias más altas. Dado que consideramos solo una frecuencia, podemos convertir cualquier valor de capacitancia e inductancia a impedancia: resistencia solo buena en la frecuencia de interés. Además, podemos representar una impedancia como un número complejo, de modo que podamos rastrear el ángulo de fase del circuito, que está directamente relacionado con un retardo de tiempo particular entre el voltaje y la corriente.
Para una resistencia verdadera, la parte imaginaria es 0. Eso tiene sentido, porque el voltaje y la corriente están en fase y, por lo tanto, no hay ningún retraso de tiempo. Para un condensador o inductor limpio, la parte real es cero. Los circuitos reales tendrán combinaciones y, por lo tanto, tendrán una combinación de partes reales e imaginarias. Dichos números son números complejos y puede escribirlos de diferentes maneras.
Revisión compleja
Lo primero que debe recordar es que la palabra imaginario es solo un término arbitrario. Quizás sea mejor olvidar el significado normal de la palabra imaginario. Estas cantidades imaginarias no son una especie de electricidad mágica o resistencia. Usamos números imaginarios para representar retrasos en los circuitos. Eso es todo.
Existe una larga historia de lo que significan los números imaginarios en matemáticas puras y por qué se les llama imaginarios. Puedes explorar esto si eres profesor de matemáticas, pero debes saber que los libros de matemáticas usan el símbolo i para la parte imaginaria de un número complejo. Sin embargo, debido a que la ingeniería eléctrica usa i para la corriente, usamos j en su lugar. Solo tienes que recordar que cuando leas libros de matemáticas, verás i y no es actual, y es lo mismo que j en los libros eléctricos.
Hay varias formas de representar un número complejo. La forma más sencilla es escribir la parte real y la parte imaginaria como adiciones junto con j. Así que considera esto:
5 + 3j
Decimos que la parte real es 5 y la parte imaginaria es 3. Los números escritos en esta forma están en formato rectangular. Puede graficarlo con las siguientes líneas numéricas:
Esto conduce a la segunda forma de escribir un número complejo: la notación polar. Si el punto en la gráfica es 5 + 3j, puedes notar que un vector puede representar el mismo punto. Tendrá una longitud o magnitud y un ángulo (el ángulo que forma con la abscisa del gráfico). En este caso, la magnitud es 5,83 (alrededor) y el ángulo es solo un poco menos de 31 grados.
Esto es interesante porque es un vector y hay muchas buenas herramientas matemáticas para manipular vectores. Será realmente importante después de un minuto, porque el ángulo puede corresponder a un ángulo de fase en un circuito y la magnitud también tiene una relación física directa.
Ángulo de fase
¿Recuerda que dije que hacemos análisis de CA en una sola frecuencia? Si identifica el voltaje alterno y la corriente a través de una resistencia a alguna frecuencia, las dos ondas sinusoidales se alinearán con precisión. Eso es porque una resistencia no multiplica nada. Diríamos que el ángulo de fase a través de la resistencia es cero grados.
Sin embargo, para un condensador, la corriente aparecerá antes que el voltaje en algún momento. Esto tiene sentido si piensa en su intuición sobre los condensadores en CC. Cuando un condensador se descarga, no tiene voltaje a través de él, pero consumirá mucha corriente; temporalmente parece un cortocircuito. A medida que aumenta la carga, el voltaje aumenta pero la corriente cae hasta que el capacitor está completamente cargado. En este punto, el voltaje está al máximo, pero la corriente es cero, o casi.
Los inductores tienen la disposición opuesta: el voltaje conduce la corriente, por lo que las curvas se verían iguales pero la curva en V es ahora la I y la curva en I es ahora la V.Puedes recordar que por el simple mnemónico ELI el hombre ICE, donde E es un voltaje como en la ley de Ohm. Cuando habla de un cambio de fase en un circuito, realmente se refiere a cuánto conduce la corriente o retrasa el voltaje a una frecuencia determinada. Esta es una idea clave: el cambio de fase o ángulo es el momento en que la corriente conduce o retrasa el voltaje. También puede medir la fase, entre otras cosas, como dos fuentes de voltaje diferentes, pero en general, cuando dice "este circuito tiene un cambio de fase de 22 grados", se refiere al voltaje contra el retardo de tiempo actual.
Recuerde que un seno es como un círculo que se dobla para coincidir con una línea. Entonces, si el comienzo del seno está en 0 grados, la parte superior del pico positivo es 90 grados. La segunda intersección 0 es de 180 grados y el pico negativo es de 270 grados, al igual que los puntos de un círculo. Debido a que el seno tiene una frecuencia fija, poner algo en una marca de grado en particular es como expresar el tiempo.
En el caso de una resistencia, el desplazamiento es de 0 grados. Entonces, en notación compleja, la resistencia de 100 ohmios es 100 + 0j. También puede ser 100∠0. Para un capacitor, la corriente aumenta antes que el voltaje en 90 grados, por lo que un capacitor tiene un cambio de fase de -90. ¿Pero cuál es el tamaño?
Probablemente haya aprendido que la reactancia de capacitancia es igual a 1 / (2πfC) donde f es la frecuencia en Hz. Esa es la magnitud de la forma polar. Por supuesto, dado que -90 grados está directamente a lo largo de la recta numérica, también es la parte imaginaria de la forma rectangular (y la parte real es cero). Si la reactancia de capacitancia (Xc) es igual a 50, por ejemplo, podría escribir 0-50j o 50∠-90. Los inductores funcionan igual pero la reactancia (Xl) es 2πfL y el ángulo de fase es de 90 grados. Entonces, un inductor con la misma reactancia sería 0 + 50j o 50∠90.
Encontrar el poder
Veamos un ejemplo rápido de para qué sirven estos ángulos de fase: potencia computacional. Sabes que la potencia es voltaje multiplicado por corriente. Entonces, si un capacitor tiene 1 V a través de él (pico) y consume 1 A a través de él (pico), ¿la potencia es de 1 vatio? No, porque no consume 1 V a 1 A a la vez.
Considere esta simulación (vea la figura a la derecha). Puede ver que las pistas de la izquierda muestran muy claramente la cuadrilla de fase de 90 grados (la pista verde es el voltaje y la corriente amarilla). La tensión máxima es de 1,85 V y la corriente alcanza los 4,65 mA. El producto del voltaje sobre la corriente es 8,6 mW. Pero esa no es la respuesta correcta. La potencia es en realidad de 4,29 mW (consulte el gráfico de la derecha). En un condensador ideal, no se consume energía. Se almacena y se libera, por lo que el poder se vuelve negativo. Los condensadores reales, por supuesto, muestran alguna pérdida.
Tenga en cuenta que la fuente de alimentación no suministra 4,29 MW, pero mucho menos. Esto se debe a que la resistencia es lo único que consume energía. El voltaje y la corriente están en fase para él y parte de la energía que disipa proviene de la carga almacenada del capacitor.
Circuitos
El tamaño del vector se puede utilizar en la ley de Ohm. Por ejemplo, a 40 Hz, el Xc del circuito de ejemplo es un poco menos de 400 ohmios. Entonces, la impedancia compleja total para el circuito RC es 1000 - 400j.
Si eres bueno en vectores, puedes hacer un polo escribiendo 1000∠0 + 400∠-90. Sin embargo, generalmente es más fácil escribir la versión rectangular y convertir a polar (Wolfram Alpha es bueno en esto; solo recuerde usar i en lugar de j). La magnitud es solo el teorema de Pitágoras y el ángulo es un trigonométrico simple. No entraré en eso, pero aquí está la fórmula donde R y J son las partes real e imaginaria, respectivamente.
mag = SQRT (R ^ 2 + J ^ 2)
fase = arctan (J / R)
Por tanto, nuestro ejemplo es 1077∠-21,8.
Entonces, ¿cuál es la energía que sale de la fuente de voltaje? La potencia es E ^ 2 / R (o, de hecho, E ^ 2 / Z en este caso). Haga 25/1077 = pico de 23 mW. La simulación muestra 22.29 y como redondeé algunos valores, eso está bastante cerca.
¿Es asi?
Por supuesto que no es así, pero es todo lo que necesita saber para muchos propósitos. Muchos textos electrónicos de pasatiempos ahorran detalles y solo funcionan con tamaños. Para circuitos simples, esto puede funcionar, pero para algo complejo (sin juego de palabras), se vuelve complicado rápidamente.
Además, este ejemplo mostró elementos en serie. Sin embargo, puede agregar balastos en paralelo y resistencias en paralelo.
Los principales conceptos que debe recordar son:
- El análisis de un circuito de CA se realiza principalmente a una sola frecuencia con una entrada sinusoidal.
- Los números imaginarios no son imaginarios.
- Las magnitudes de números complejos en formas polares pueden tratarse como resistencia.
- El ángulo de fase es el retardo de tiempo entre el voltaje y la forma de onda actual.
Ostraco dice:
"Si alguna vez ha leído libros de texto avanzados o artículos sobre electrónica, es posible que se haya sorprendido al ver el uso de números complejos en el análisis de circuitos alternativos".
Supongo. Después de entrar en AC, que no estaba lejos de DC, lo imaginé bastante rápido. Y eso estaba dentro del mismo libro de texto. Y eso ni siquiera entra en la clase de matemáticas.
TheRegnirps. dice:
La descripción de una expresión como “imaginaria” se ha vuelto negra desde que se usó por primera vez. Creo que sería genial si todos los campos adoptaran I y Q.
"Esto significa que si presenta el voltaje de onda sinusoidal contra la corriente, el voltaje pico estará donde la corriente es mínima y el pico de corriente estará donde el voltaje es cero". Esto es cierto para sin y cos, pero podría ser mejor generalizar: 'Esto significa que si presenta el voltaje de onda sinusoidal contra la corriente, el voltaje pico será donde la corriente cambia más rápido y la corriente pico cambiará. estar donde el voltaje cambia más rápido. “Esto luego se relaciona con la parte anterior sobre un cambio de voltaje contra la corriente en un capacitor.
Juan dice:
Bueno, eso tenía tanto sentido como una tetera de chocolate. 🙂
TheRegnirps. dice:
Se trata de qué tan rápido cambia en lugar de cuánto ha ganado. Hay tanto que decir sobre los números complejos y la ciencia que debes detenerte en algún lado. Agregaría un poco sobre la razón por la que algunas cosas simplemente se comportan de esa manera. La multiplicación regular no funciona, pero compleja con la raíz cuadrada (-1) bloqueada en la parte j hace que los signos + o - sean correctos, así que lo usamos.
Además, cuando ve que ese vector gira, en el mundo complejo aparece como un sacacorchos. No golpea el mismo lugar cuando se llena.
Juan dice:
No me refería a números complejos que entiendo, me refería a tu publicación.
TheRegnirps. dice:
Supuse 🙂 Era una nota para el autor.
Mike Perry dice:
Sé que soy una minoría, pero como algunos daltónicos rojo / verde, usted elige los colores en sus gráficos.
Martinmuunk dice:
¿Cómo supiste que tenía esos colores? ????
Lo siento. Te veo afuera ahora ...Jim dice:
Sabía que tenía esos colores porque leí el texto y decía amarillo y verde. Así supe de qué color eran los crayones. Casi me revele en primera clase porque era daltónico, tenía que aprender a leer en defensa propia.
En serio, estaba a punto de responder a la pregunta: "¿Ves cómo está la punta verde, donde la curva amarilla cruza el cero?"
Mi respuesta es no."
Carl Smith dice:
Acabo de tener una idea. Si alguien aún no lo ha hecho, pídale a alguien que escriba un programa en el que pueda presionar alguna combinación de teclas y hacer que los colores de una pantalla cambien a otra cosa en la que el rojo o el verde se vuelvan amarillos o algún color distinguible.
Carl dice:
Me parece ridículo que tengamos el mismo nombre.
De todos modos, hay varias herramientas diseñadas para ayudar también, aunque la más compleja que recuerdo haber probado (EyePilot) ya no está actualizada para una computadora y ahora parece ser propiedad de otra empresa. Si existe algo mejor ahora, no sé qué es.
Carl dice:
Sea amable con los lectores daltónicos, ¡no use amarillo y verde en la misma trama!
Charles dice:
Un problema con este tipo de artículo, y este tipo de enseñanza, es que no tiene sustancia. Recuerdo mi primera clase de aire acondicionado y fue como este artículo. Solo entra, bla, bla, bla sobre las cosas en un tablero. Algunos magos de las matemáticas lo entendieron, otros no. Pero, incluso el mago matemático no podría aplicarlo a nada, al igual que este artículo, no había nada a lo que aplicarlo. Sí, lo sé, resistencias, condensadores, inductores, voltaje, corriente, potencia, etc ... y combínalos y puedes usar las matemáticas para resolver ..... cualquier cosa. la mayoría abandonó esta clase después de unas semanas.
Entonces necesitas un problema del mundo real para aplicar esto. Algo que todos puedan decir “¡ah, ahora tiene sentido!”. Tal vez incluso algo a lo que la gente pueda vincularse y tal vez ver a través del alcance y la encuesta actual. Un problema decente que podría aplicarse (quizás) es un motor. Muchos motores industriales necesitan un condensador para arrancar. Entonces, tiene un voltaje variable conocido, frecuencia sin cambios, inductancia. ¿Podrían usarse estas ecuaciones para ayudar a las personas a saber por qué se usó un capacitor de tamaño específico? ¿Qué pasa si se cambia? ¿No es así?
Tal vez una fuente de alimentación simple, ¿por qué se eligió este tamaño de condensador?
No estoy tratando de ofender al escritor, pero realmente necesitas dar escenas del mundo real, un dispositivo real, con lo que la gente puede identificarse y usarlo, y saber cuándo usarlo. Esta enseñanza va mucho más allá.gh0stwriter88 dice:
Básicamente necesitas vaciar este método antes de poder aplicarlo ... Algunos profesores apestan para enseñar el método. Tomé una clase y obtuve Diferente, lo aprendí con un buen maestro y obtuve una A y lo entendí bien ... La microelectrónica es la aplicación de este método a problemas reales en amplificadores y otros sistemas alternativos alternativos ... funciona mucho en esa clase, pero también sientes que se junta. Tal es el proceso de aprendizaje ... También señalaré que algunas escuelas como la mía dividen la teoría en línea en 2 clases y otras no ...
mis pensamientos62 dice:
Cuando comencé la universidad (Purdue), el profesor nos dijo que miráramos de izquierda a derecha y dijo: "dos de ustedes no estarán aquí al final del semestre". Pensé, y sigo pensando, que esta era una mala actitud, pero resultó ser cierto. Más se fue en el segundo semestre, luego casi todos lo dejaron hasta el final de los 4 años. Sospecho que una mejor enseñanza minimizaría este impacto, pero al menos algunas personas no lo harían de todos modos ...
e-to-the-eye-cake dice:
"Imaginario" fue un término desafortunado desde el principio, desconcierta demasiado las cosas.
Lo pienso de esta manera (no recuerdo dónde leí esto): multiplicar por "i" es la instrucción para girar a la izquierda. Haga esto dos veces y rotará alrededor de una cara (que es lo mismo que multiplicar por -1), por lo que "i" se ve como la "raíz cuadrada" de menos uno. Hágalo cuatro veces y volverá al lugar donde comenzó (por lo que "i" se ve como la cuarta raíz de uno). Los números complejos solo tienen sentido cuando piensas en ellos, ya sea en entidades bidimensionales o con un sentido definido de dirección de rotación ("i" te hace girar hacia la izquierda). Curiosamente, no existe una versión tridimensional de los números complejos, pero existe una versión de cuatro dimensiones, el hamiltoniano cuádruple (utilizado ampliamente en gráficos por computadora).Para las personas a las que no les gustan los números complejos, en realidad pueden evitarlos si se apegan completamente a la trigonometría y combinan términos de seno y coseno en un solo término sinusoidal (con cambio de fase y factor de tamaño), pero esto generalmente es mucho más complicado. Una vez que aprenda a usar números complejos y una ecuación de Eulers, en realidad facilitan la derivación de todas las demás combinaciones trigonométricas. De hecho, los números complejos se utilizan con mucha frecuencia en Ingeniería para evitar fórmulas trigonométricas.
Rob Fielding dice:
de hecho, el álgebra geométrica proporciona una gran comprensión del mismo. se puede manipular sin coordenadas y está en todas las dimensiones desde 0 en adelante. solo que representar correctamente el espacio requiere 2 ^ d valores. los cuádruples son un subconjunto del álgebra geométrica 3D. puede volver a generar fácilmente todo, desde trig, vector, álgebra lineal a partir de él.
Carl Smith dice:
Lo que me confundió cuando aprendí circuitos alternativos en la universidad fue separar todo en ondas sinusoidales y luego explicar que el flujo de corriente en un capacitor es más alto donde el voltaje del seno es cero. Esto me llevó a creer que de alguna manera el alto flujo de corriente estaba relacionado con el hecho de que el voltaje era cero, lo que no tenía sentido para mí. Una vez engañado por una mala enseñanza, me tomó mucho tiempo ver que la corriente no tiene nada que ver con el valor absoluto del voltaje, sino que tiene que ver con el cambio en el voltaje, pero para una onda sinusoidal, que resulta ser cuando cruza cero.
Yo no dice:
Sé que uno tiende a culpar a la "mala enseñanza" cuando no entiendes algo, pero ¿consideraste que podrías ser simplemente estúpido?
Carl Smith dice:
¿Seriamente?
Al Williams dice:
Bueno, aceptaré a Carl y no con el mismo espíritu. Pasé mucho tiempo frente a un aula (hace muchos años impartí clases basadas en mis libros de Addison Wesley para gran parte de Fortune 100 y otras empresas). Aprendí que la gente aprende de manera diferente. Así que es muy difícil deshacerse de la mala enseñanza de la enseñanza que no se ajusta a mi estilo de aprendizaje, especialmente si aún no eres un experto en lo que estás tratando de aprender (que normalmente debería ser el caso). Aquí hay una razón por la que me gusta probar diferentes enfoques. A menudo voy a la escuela secundaria, por ejemplo, y enseño un poco de matemáticas de ingeniería como no lo hacen los profesores de matemáticas. Muchos niños se verán perplejos, pero siempre son 4 o 5 cuando el enfoque diferente hace que la luz se apague en su cabeza. Ahora, por otro lado, es tan malo para Carl decir que el maestro es malo porque no encajaba con su punto de vista, como lo es para ti decir que es estúpido porque no lo entendió. El maestro podría ser malo. Tal vez no. Supongo que es posible que Carl sea estúpido, pero según su comentario, no veo ninguna razón para pensar que eso sea probable (y lo siento, Carl, no te llamo estúpido, solo señalo).
Uno de mis objetivos al escribir estos artículos, exitoso o no, es no reproducir una introducción de EE101 a un libro de circuitos. Hay muchos. Pero hay muchas personas que aprenden circuitos ya sea por su cuenta o con un mentor o usan fórmulas de estacionamiento simplificadas para (por ejemplo) examinar el jamón. Por eso, a menudo veo personas que pueden, solo para elegir un ejemplo, diseñar y construir un filtro Sallen Key con un amplificador operacional, pero no entienden realmente por qué funciona. Incluso veo EE en el lugar de trabajo y las universidades que pueden escupir todas las matemáticas, pero no de forma intuitiva. Y una de las cosas que veo con más frecuencia es el ángulo de fase. Esa intuición es lo más difícil de enseñar y aprender. De hecho, no creo que puedas enseñarlo. Puede simplemente quitarlo y el estudiante eventualmente hará clic en él o No.
Un caso sencillo. Dos resistencias en paralelo. ¿Quién diseña el más actual? La resistencia de menor valor. Claro, todos podemos sacar las matemáticas para demostrarlo, pero no es necesario. Solo lo sabemos. Eso es lo que pretendo ayudar a las personas a encontrar esa intuición sobre los circuitos en general. Pero como digo, creo que nadie puede enseñarte eso directamente. Personalmente me gustaría que alguien me diera esa intuición para las antenas. He conocido al menos a dos personas que claramente tienen ese agarre de antenas en ese nivel y yo no soy uno de ellos (aunque puedo escupir muchas matemáticas que me han llenado la cabeza en varias universidades sobre el tema ). Pero los chicos que conocía no pudieron enseñarme, simplemente me mostraron lo que hicieron y no pude romperlo. Tal vez algún día.
Ostraco dice:
Estoy seguro de que hay una razón por la que las antenas se consideran arte oscuro.
Juan dice:
Dos resistencias en paralelo. << ninguno de ellos dibuja más, para tener "más" necesitas al menos tres, dibujas más y dibujas menos pero ninguno dibuja más o menos.
Al Williams dice:
Bueno, sí, ¿pero no puedes decirme que no entendiste lo que quise decir? O si no lo hiciera, ciertamente no lo reconocería. Jajaja
mp2526 dice:
Los pedantes deben ser pedantes
Me dice:
incrédulo.
Antikvist dice:
No entiendo.
Juan dice:
Puede dividir a los ingenieros de los matemáticos más fácilmente usando I y J que con cualquier otro método.
c_Invención dice:
Bueno, realmente disfruté tu artículo. Ha logrado arrojar algo de luz sobre algunos conceptos no tan fáciles de manera muy pedagógica, y eso es mucho más difícil de lo que parece. Bravo.
Wilberofdelaware dice:
Ve a la pizarra y dibuja un seno para mí. Ah no, ese no es el que tenía en mente ... Verás, hay un número infinito de ondas sinusoidales que se pueden dibujar. También debe conocer la fase en relación con el punto de origen en abscisas. Entonces, un seno de una frecuencia particular no se puede transmitir completamente solo con el tamaño. Dats por qué necesitas el yo
marca dice:
¡No son tan complicados como pensaba! ¡Gracias por los consejos!
Son muchos los detalles que he considerado. Probablemente no necesite saber cómo soy realmente la raíz cuadrada de un negativo. O cómo juega el número de Euler en esto y la simplicidad de integrar y diferenciar ondas sinusoidales escritas con amplitud y ángulo de fase. Si está interesado en la historia matemática, los números imaginarios tienen suficiente historia detrás de ellos. Si quieres algo más práctico, Khan Academy tiene algunos videos útiles. Sin embargo, lo que se incluye aquí debería ser todo lo que necesita saber para trabajar con circuitos alternativos.
