Cómo encontrar un dron perdido con el integral

Si le pidiera que encontrara el área de un cuadrado, no tendría ningún problema en hacerlo. Sería lo mismo si te pidiera que encontraras el volumen de un cono o un rectángulo o cualquier otro regla formulario. Es posible que deba recurrir a Google para obtener la fórmula correcta, pero aún así sería un proceso trivial. Pero, ¿qué pasaría si te pidiera que encontraras el volumen de un jarrón al azar en la encimera de la cocina? Cómo buscar el volumen de irregular formas?

Una forma sería llenar el jarrón con objetos mucho más pequeños de volumen conocido. Luego, podría sumar los volúmenes más pequeños para obtener una estimación del volumen total del recipiente. Por ejemplo, imagina que llenamos el jarrón con canicas. La canica es una esfera, y podemos calcular el volumen de cada canica mediante la fórmula 4 / 3πr3. Contamos todos nuestros globos y multiplicamos el total por el volumen de una canica y llegamos a nuestra respuesta. Sin embargo, no es perfecto. Hay mucho espacio vacío entre las cuentas mientras llenan el jarrón. Nos vemos obligados a concluir que nuestro volumen estimado será menor que el volumen real.

Sería por esta época cuando nuestro buen amigo Isaac Newton preguntaría “¿Y si cortas las canicas?” Reducir el tamaño de cada canica reduciría el espacio vacío que existe entre ellas a medida que se acumulan en el recipiente, lo que nos da un volumen general más preciso. ¿Pero qué tan pequeño? ¿Existe un límite en cuanto a lo pequeños que podemos hacerlos? “No te molestes con la frontera”. dice [Newton]. “Descubrirá que a medida que encoge las bolas cada vez más, comenzará a converger en un solo número, y ese número será el volumen exacto de su recipiente”.

Reducir el tamaño de la canica para obtener un volumen más preciso muestra la idea de la integral, uno de los dos principios fundamentales de The Count. El otro principio se conoce como derivado, que explicamos en nuestro artículo anterior mediante un examen muy cuidadoso y tedioso de una flecha en vuelo. En este artículo tomaremos el mismo enfoque para la integral. Al final, tendrá una comprensión fundamental de lo que es la integral y, lo que es más importante, cómo funciona. Nuestro ejemplo de jarrón le da una buena imagen mental de lo que es la integral, pero no es una comprensión fundamental de ella. Al igual que faru ¿encoges esos globos? Para responder a esta pregunta, veamos de nuevo una de las flechas en movimiento de Zeno.

¿Drones o flechas?

Este fractal tiene simetría rotacional.

Imagínese un dron en curso de colisión con una pared de ladrillos. Digamos que el dron se mueve desde su punto de partida hasta un punto a medio camino entre él y la pared. Repitamos ese proceso. Si seguimos moviéndonos entre un punto de partida y un punto medio, ¿cómo chocaremos con la pared? Quienes hayan leído nuestro primer artículo de esta serie reconocerán esto como un giro en la paradoja de la dicotomía. Zenón, un filósofo del siglo V a.C., inventó la paradoja y le tomó más de dos mil años responder a la humanidad. En el último artículo, resolvimos su paradoja “la flecha” por la derivada. En este artículo resolveremos la paradoja de la dicotomía por integral.

Aquellos que han prestado atención recordarán cómo la derivada y la integral en realidad están invertidas entre sí o “dos lados del mismo capacitor cerámico”, creo que dije. En el campo de las ciencias y las matemáticas, a los profesionales les gusta encontrar la simetría. Hay una cierta belleza … elegancia en un fenómeno cuando la simetría es visible dentro de sus límites. Con eso en mente, recuerde cómo la paradoja de “la flecha” preguntó cuál es la velocidad de una flecha en movimiento en un momento dado. Para obtener la velocidad, necesitábamos saber siempre su posición. La paradoja de la dicotomía es el lado opuesto de la misma idea. Zeno pregunta dónde está la punta de la flecha, o cuál es su posición, en un momento. Y para que podamos posicionarnos en el dron, necesitamos conocer su velocidad en todo momento. Afortunadamente, nuestro dron registra esos datos.

Caso del dron caprichoso

El problema

Su proyecto de dron automatizado tiene un problema. Parecería que olvidó una coma cuando programó su cerebro arduino, y despegó y se perdió. Afortunadamente, la función de grabación parece estar intacta. Pudo transmitir su velocidad y dirección durante un período de 3 minutos. Desafortunadamente, su GPS no fue trabajando, por lo que no tiene su lugar. Al mirar los registros, se da cuenta de que su rumbo nunca ha cambiado. Parece que voló hacia el norte durante todo el vuelo. También nota que la velocidad no fue constante, sino acelerada.

Entonces eso es lo que tienes. Conoces la posición desde donde despegó. Sabes que voló en línea recta durante 3 minutos hasta que se agotaron las baterías, y puedes asumir que el dron cayó en ese punto. Tienes la velocidad en todo momento en tres minutos, y descubres que el dron aceleró a una velocidad de v = 2t. ¿Cómo encuentras la ubicación del dron?

Ahora, si crees que esto suena como un problema de palabras de calc-101, ¡tienes razón! Sin embargo, no lo resolveremos imprudentemente ingresando datos en una ecuación. Encontraremos nuestro dron perdido resolviendo la paradoja de la dicotomía. Y con eso, obtenga una comprensión perfecta de cómo funciona la integral.

La solución

La velocidad del dron era 2t o dos veces. Supongamos que después de 1 minuto de vuelo se movió a 1 milla por minuto. Después de dos minutos viajaba a 4 millas por minuto. Y en la última línea del registro, que detallaba tres minutos en su vuelo, nuestro dron viajaba a una velocidad de 6 kilómetros por minuto. Entonces, ¿cómo sabemos qué tan lejos ha llegado la maldita cosa?

La mejor manera de abordar estos problemas es comenzar con el ejemplo más simple posible. Entiéndalo y luego aumente la complejidad hasta que podamos abordar nuestro problema del mundo real. Manteniendo esto ligero, supongamos que el dron viaja a una velocidad constante de 1 kilómetro por minuto. Entonces, después de tres minutos de vuelo, el dron viajaría 3 kilómetros. Todo lo que tenemos que hacer es ir a la plataforma de lanzamiento, caminar 3 millas en dirección norte y encontrar nuestro dron.

Ahora supongamos que el dron se hace más grande. De tal manera que en el despegue hasta medio minuto, viajaba a 1 milla por minuto. Desde el medio minuto hasta la marca de 1 minuto, condujo a 2 millas por minuto. Cada 30 segundos, el dron aumenta su velocidad en 1 milla por minuto hasta que expira sus 3 minutos de tiempo de vuelo. Veamos el gráfico de la derecha y calculemos la distancia recorrida. Si la distancia es igual al tiempo multiplicado por la velocidad, entonces:

La distancia total recorrida es:

Encontrar qué tan lejos ha viajado el ahogado es bastante sencillo cuando las velocidades son constantes. Desafortunadamente, el mundo real no suele funcionar de esa manera. Nuestro dron aceleró con una tasa de cambio constante de 2t durante 3 minutos. ¿Cómo nos enfrentamos a esto? Bueno, sabemos cómo sumar las piezas a velocidades constantes para obtener una distancia total. ¿Qué pasaría si pudiéramos tomar la velocidad de nuestro dron en aceleración y romperlo en pedazos, calcular la distancia promedio recorrida durante los chips y luego agregar esas distancias recorridas para obtener un total? De la misma manera que dividimos el área de nuestro recipiente en pequeñas esferas y las agregamos todas.

La verdadera velocidad de ahogamiento se muestra en azul. La velocidad del dron fantasma se muestra en amarillo.

La forma más sencilla de hacerlo es crear lo que yo llamo un dron fantasma. Lo que hará el dron fantasma es seguir a nuestro verdadero dron, que se mueve a la velocidad 2t (línea azul en el gráfico de la izquierda). Pero el dron fantasma se moverá con una velocidad creciente como en nuestro ejemplo hipotético anterior (línea amarilla en el gráfico de la izquierda). Calcularemos la distancia total recorrida por nuestro dron fantasma para obtener una estimación de la distancia recorrida por nuestro dron real.

Esto es lo que quiero decir con cola. Imaginemos que cuando nuestro dron real despegó, el dron fantasma permaneció en el suelo. Pero tan pronto como el dron real alcanza la marca de 0,5 minutos, el dron fantasma obtiene inmediatamente una velocidad igual a la del dron real. Luego mantiene este velocidad constante mientras el dron real sigue acelerándose. Tan pronto como el dron verdadero alcanza la marca de un minuto, el dron fantasma vuelve a aumentar instantáneamente su velocidad para igualar al dron verdadero. Y nuevamente mantiene esa velocidad, ya que el dron real continúa acelerando a una velocidad de 2t. Mire el gráfico de la izquierda y vea que el dron fantasma continúa el proceso de seguimiento del verdadero dron hasta el final.

¿Por qué estamos haciendo esto? Porque sabemos cómo calcular la distancia total recorrida por el dron fantasma.

La distancia total recorrida por un dron fantasma es:

Debido a que nuestro dron fantasma siempre se queda atrás como el verdadero dron, esta estimación será una subestimación de la Distancia recorrida por el dron real. Lo ideal sería realizar el mismo procedimiento con otro dron fantasma que superase persistentemente al dron verdadero, dándonos una sobreestimación de la distancia total recorrida por el dron verdadero. Pero para mantener las cosas lo más simples posible, usaremos nuestra subestimación.

Entonces tenemos una distancia estimada recorrida de 7.5 kilómetros al norte del punto de lanzamiento. En este punto, necesitamos ver qué podemos hacer para ajustar aún más esa estimación. Quienes hayan seguido esta serie de conteo sabrán que podemos obtener una estimación más precisa de la distancia recorrida por el dron real en más y mejores intervalos de tiempo cuando calcule la distancia recorrida por nuestro dron fantasma. Mirando el gráfico de la derecha, puede ver que el ancho de los rectángulos verticales es en realidad los intervalos de tiempo de nuestras medidas. Si reducimos este ancho, podemos insertar más de ellos debajo de v = 2t función (línea azul) y reducir el espacio no ocupado por los rectángulos. Es el mismo concepto que encoger las canicas en nuestro jarrón para disminuir el espacio vacío entre ellas.

En lugar de usar intervalos de medio minuto, veamos qué sucede cuando tomamos intervalos de 1/10 minutos.

La distancia total recorrida por un dron fantasma es:

Esto se convierte en un proceso muy laborioso, pero necesario. A medida que continúe calculando la distancia estimada recorrida en más y mejores intervalos de tiempo, comenzará a converger en un solo número: 9. El mismo número aparecería si sobreestimáramos los cálculos. Ahora podemos decir que nuestro dron recorrió una distancia de 9 kilómetros. Y también podemos decir que podemos conocer la distancia que recorrió la flecha en la paradoja de la dicotomía, independientemente de su velocidad.

El poder de lo integral

Así que vas a tu punto de lanzamiento y vas 9 millas al norte y localizas tu dron. Llegas a casa y notas que la cámara ha estado funcionando durante todo el vuelo. Ves el video y sientes curiosidad por algunos puntos de referencia. Empiezas a preguntarte dónde están. Acabas de cubrir toda la distancia recorrida por el dron … ¿es posible encontrar la distancia entre la plataforma de lanzamiento y algunos de los puntos de referencia del video? ¡Por supuesto! Si bien tiene el tiempo en que el dron sobrevoló el punto de referencia, puede rebotar en los troncos para obtener la velocidad. Imaginemos que hacemos exactamente el mismo proceso de trabajo intensivo que hicimos anteriormente, pero durante diferentes períodos de tiempo. En lugar de alcanzar la distancia recorrida en tres minutos, intentemos medio minuto, dos minutos y así sucesivamente … tiempos que corresponden a nuestro dron sobrevolando los puntos de referencia. ¿Cuánto tiempo viajó nuestro dron para alcanzarlos?

El patrón es obvio. Para la función dada f (x) = 2x, la integral es x2. Si recuerda nuestro último artículo de esta serie, la derivada de la función f (x) = x2 es 2x. Ahora vemos cómo son inversos entre sí. La relación entre estos dos principios fundamentales del cálculo, la la derivada y la integral serán el tema del próximo artículo.

Fuentes

Todas las imágenes son del curso The Teaching Company, Lecture 3.

  • iojioj dice:

    tl; Dr.

    muéstrame un gran truco de avr o nuevos dispositivos de IoT, no algunas aburridas conferencias de matemáticas.

    • sintiendo ayuda dice:

      Realmente espero que esto sea una sátira. Si el objetivo era burlarse de la ignorancia de la juventud, era visible.

      • Alex dice:

        ¿Podrías por favor no insultar a todo un grupo solo porque algunos miembros no tienen ni idea? Sinceramente, dudo que tu generación haya sido mejor. Honestamente, aproximadamente el mismo porcentaje de adultos y niños no saben nada sobre electrónica o matemáticas, así que deje de elegir niños simplemente porque hay un objetivo más entusiasta. Sí, el chico de arriba era un troll, pero no mejor.

        • sintiendo ayuda dice:

          La “ignorancia de la juventud” no es demográfica. Es una característica de la inexperiencia. Como no especifiqué un umbral de edad como “joven”, preocuparse por un bigote no tiene sentido.

          ¿Te ofendería si yo también lamentara a los felizmente ignorantes?

          Creo que la expresión es “si el zapato no me queda”, sin embargo me siento halagado, asumiste que yo no soy la Generación Y …

          #dealwithit #trollisnotaninsult #woosh

    • nitePhyyre dice:

      Jo, joder.

      “* Boo-hoo * la gente tiene gustos, opiniones y niveles de conocimiento diferentes que yo, y este sitio no me sirve exactamente, siempre, con cada artículo, * Wah wah wah. *”

      Sabías que era una lección de matemáticas cuando viste el título. Si encuentra aburridas las clases de matemáticas, no haga clic en el enlace de sangre. Esto no es ciencia de cohetes.

      • ALINOME el A dice:

        > integrales
        > no es ciencia espacial
        Es posible que desee pensar en esa declaración un poco más …

        • keith de canadá dice:

          > harina
          > sin pastel
          – ¿Nuff dijo?

    • Liam G. dice:

      Después de unos años, odiarás todo lo relacionado con IoT cuando ni siquiera podrás cagar sin un inodoro de IoT conectado a tu Facebook para publicar actualizaciones en el nombre de tu trasero.

  • cara de mierda dice:

    ¿En serio un artículo sobre matemáticas en la escuela secundaria? Tampoco es una explicación particularmente excelente del tema, especialmente considerando cuánto tiempo ha sido. Un paso más para hacer que este sitio sea patético de día

    • JasonDorie dice:

      No todo el mundo sabe esto. Lo encontré fascinante porque nunca tomé cálculo (de hecho, casi reprobé matemáticas en la escuela secundaria). Realmente disfruté la forma en que los artículos te guían a través de la mecánica.

      • Dax dice:

        Bueno, algunos de ellos incluso están completamente equivocados. Por ejemplo:

        “Reducir el tamaño de cada canica reduciría el espacio vacío que existe entre ellas cuando se amontonan en el jarrón”.

        No, no, porque el volumen que toman las bolas disminuye al mismo ritmo que el volumen vacío entre las bolas, la relación entre las dos sigue siendo la misma. Si aún no lo sabe, debería leer el material introductorio elaborado por profesores competentes en lugar de este.

        • RobM dice:

          Si. Suponiendo que las canicas tienen el mismo tamaño (implícitamente por el dicho “cuente todas nuestras canicas y multiplique la suma por el volumen de una canica”), convergerá a aproximadamente el 75% del volumen total (haciendo algunas otras suposiciones, como el embalaje es denso). Te sentirás mejor si las canicas tienen diferentes tamaños.

          Y me encanta el cálculo, pero si realmente necesitara saber el volumen de un recipiente de forma irregular, lo llenaría con agua y luego vertería el agua en un cilindro graduado u otro recipiente con un volumen conocido.

          Lo que el mundo necesita son mejores problemas de palabras.

        • Max dice:

          Oh, todo el enfoque es incorrecto, por supuesto. Es una anécdota particularmente adecuada, según la cual a un matemático, un físico y un ingeniero se les da la misma bola roja y se les pide que encuentren su volumen. El matemático, por supuesto, mide el diámetro y calcula el volumen. El físico sumerge la pelota en una taza llena de agua y mide cuánto se ha derramado. El ingeniero: va a su oficina, toma el pequeño catálogo del globo rojo y mira el volumen nominal …;)

    • PenutbutterJellyTime dice:

      No estoy de acuerdo con que esto sea poco convincente, tal vez lo sepas, pero estoy seguro de que muchos lectores no lo saben, lo sé, pero aún así me gustan los refrigerios … aunque solo sea por la historia.

      Una cosa que me asombra es el “título atractivo” que me trajeron a esta publicación esperando un contenido completamente diferente. Si este fuera un título adecuado, aún haría clic en él, ya que estos artículos son raros en la actualidad.

  • lunakid dice:

    Aún no lo he leído completo, ¡es un tema interesante! Por ahora: ¿podría establecer el volumen de la esfera al principio? ¡Hola!

    • lunakid dice:

      (inicialmente, lo siento)

      • pter dice:

        Otro problema no mencionado es que las esferas siempre habrán excluido el espacio incluso con un empaque óptimo. A medida que el tamaño de la esfera se acerca a cero, la suma del volumen de las esferas tendrá que multiplicarse por 3 * sqrt (2) / pi para igualar el volumen total. Consulte https://en.wikipedia.org/wiki/Sphere_packing
        No importa cuán pequeñas sean las esferas, siempre hay pi / (3 * sqrt (2)) o ~ 74% de espacio vacío.

        Si usa arenas infinitamente pequeñas (cubos), no hay tal problema. También es más fácil integrar un florero con discos apilados con una altura cercana a cero. La firma pedante del capitán.

        • pter dice:

          Otra cosa, ¿son esas citas realmente de Newton? Suena casi al estilo Yoda. “No te molestes con la frontera”. “Converge en un solo número, lo harás (con una corrección que debes)”.

          • JBowles dice:

            El texto original probablemente fue escrito en latín, la rareza probablemente proviene de la traducción.

        • Comedias dice:

          El ejemplo es menos que ideal. Le daría una A a cualquier estudiante que simplemente dijera “llénelo de agua”.

        • Alan dice:

          ¿Las moléculas de agua serían lo suficientemente pequeñas para ti?
          Sellaría la parte superior, luego sumergiría el jarrón en agua. Mide el volumen de agua desplazada.
          El volumen de agua desplazada es igual al volumen del recipiente.

          • araneoidulo dice:

            Claro, pero eso funciona porque su forma de medir el agua se considera la “fracción de empaque”. Si intentara medir el volumen de una molécula de agua y multiplicar por el número de moléculas, como esta publicación, también obtendría la respuesta incorrecta.

          • Geo dice:

            Todavía usas agua para medirlo. Digamos que usa grava, puede contener 2 litros de grava o reemplazar 2 litros de grava. Ahora bien, si desplaza 2 l de grava pero contiene 2,4 l de agua, habrá aumentado su precisión no midiendo otro lado, sino utilizando un recurso con una mejor proporción de empaque.

          • jp314 dice:

            Eso daría el volumen del EXTERIOR, no el volumen del interior.

          • Alan dice:

            Sí, esto da el volumen del EXTERIOR del recipiente. Esa es la respuesta correcta para “volumen de un jarrón”.
            Aunque, en teoría, tienes que seguir adelante con la ingesta de agua, midiendo eso y restando.

            La diferencia es el volumen del recipiente en sí, en lugar del volumen que contiene.

        • lunakid dice:

          ¡Oh, sí, de verdad, de verdad! : -o Gracias por señalarme esto. Realmente vergonzoso. Y no tiene nada que ver con la pedantería, ¡en realidad es bastante burdo! 🙂

          • lunakid dice:

            (Tenía la intención de reaccionar a esto, por cierto: “No importa cuán pequeñas sean las esferas, siempre hay …% … espacio vacío”).

  • Xenoir dice:

    Hay un pequeño error sobre el volumen de una esfera, escribiste 4 / 3πr² en lugar de 4 / 3πr³.

    • Es Sweatman dice:

      Reparado. ¡Gracias!

  • Etiqueta de registro dice:

    Buen artículo. Nunca llevé a Calc a la escuela, pero tropecé en mi camino en la vida desde entonces. Parecería que esto no explica el movimiento balístico del dron después de que se agota la batería. Más bien, esto supone que el inmediatamente cae hacia abajo. Puede que no sea el panorama general, pero aún parece importante.

  • sintiendo ayuda dice:

    Profundizaré un poco más:
    Para la función dada f (x) = x ^ 2, la integral indefinida es [(x^3)/3] + C.
    Para la función dada f (x) = x ^ 3, la integral indefinida es [(x^4)/4] + C.
    etc …

    Las integrales indefinidas se usan para encontrar la forma general de la integral, mientras que la integral definida se usa para encontrar el área dentro de un rango específico de la integral indefinida. Suponiendo que quiera saber la distancia recorrida en 60 segundos: la posición inicial “+ C” no importa a la distancia recorrida.

    ¿Cómo se calcula esto?
    https://eo.wikipedia.org/wiki/Fundamenta_teoremo_de_kalkulo#Dua_parto

    Simplemente pon:
    Usted toma la posición en la hora de finalización (“60 segundos”) y resta la posición en la hora de inicio: “0 segundos”

    Posición (en metros) en función del tiempo (en segundos): P
    Velocidad en función del tiempo (en segundos): V

    Aceleración en función del tiempo (en segundos): A

    Volviendo al problema original: [(60^3)/3 + C] – [(0^3)/3 + C] = (60 ^ 3) / 3 + C – C que es igual a (60 ^ 3) / 3 metros conducidos.

    Para aquellos de ustedes que aún no han participado y no quieren asistir a 2-3 semestres de cálculo universitario: mucho de lo que se enseña en las clases de cálculo universitario es como encontrar integrales / derivadas más complejas que polinomios simples (que no necesita más que la “regla del poder”) y hacerlo manualmente. Para los impacientes y más interesados ​​en aplicar estas habilidades a cosas como escribir código y hacer hojas de cálculo: Wolfram Alpha y SymboLab tienen funciones de solución integradas indefinidas para entradas funcionales arbitrarias.

    http://www.wolframalpha.com/calculators/integral-calculator/
    https://www.symbolab.com/solver/indefinite-integral-calculator

    Ahora: no siempre obtendrá una descripción funcional del comportamiento. En algunos casos: Las clases físicas le ayudarán a identificar estas descripciones funcionales para algunos valores de medición / sensor. En otros casos: no conocerá las ecuaciones de control subyacentes que dictan todo lo que debe medirse. En estos casos, hay varias estrategias disponibles.

    1) Sumas de Riemann / Regla trapezoidal / Simpson Regla:
    http://www.cplusplus.com/forum/general/30434/
    http://www.cplusplus.com/forum/general/79581/
    http://blog-noxasch.blogspot.com/2014/11/c-using-simpsons-rule-to-numerically.html

    Estos métodos para encontrar una integral definida no requieren una descripción funcional y pueden resolverse por completo mediante análisis numérico.

    2) Use un solvente de regresión polinomial
    http://www.arachnoid.com/polysolve/

    Esta es más una metodología “fuera de línea”, sin embargo, si tiene varios puntos de datos, puede “hacer coincidir” una curva polinomial de n grados con esos puntos de datos y luego usar symbolab / tungsteno alfa para encontrar la integral indefinida de esa curva. Convertir la integral indefinida en una función de c ++ / Python / Java debería ser bastante simple.

    Cierto conocimiento es algo peligroso y existe el peligro de “sobre-equipar” un polinomio y encontrar patrones que no existen en las mediciones de sensores ruidosos. A veces, puede utilizar una estrategia llamada “reducción dimensional” para reducir las entradas a las más significativas eliminando así las fuentes de ruido que no juegan un papel importante en el control del comportamiento.

    3) Usa una red neuronal para hacer una regresión
    http://www.dspguide.com/ch26/1.htm
    http://cs.stanford.edu/people/karpathy/convnetjs/demo/regression.html

    Esto es un poco exótico, pero en muchos casos: las redes neuronales pueden ser herramientas muy poderosas para crear predictores basados ​​en datos de entrenamiento / puntos de datos.

    Pensamientos finales:
    Encontrar una posición provista solo con una entrada de acelerómetro es un problema clásico conocido como navegación inercial. La dificultad radica en el hecho de que cualquier error en la medición de la aceleración crecerá exponencialmente en el proceso de integración para encontrar la velocidad, y cualquier error en la velocidad crecerá exponencialmente en el proceso de encontrar una posición.

    Aquí están las cosas que desearía haber entendido sobre cálculo cuando comencé la universidad.

    • jbsales dice:

      ¡Buena adición al tema! También quiero conocer este espectro de herramientas en mis primeros años de universidad. Esto ciertamente puede alentar a los nuevos estudiantes a comprender las aplicaciones reales del cálculo.

    • Elliot Williams dice:

      Red neuronal para resolver integrales!?!? ¡Ustedes y sus coches cohete están saliendo de mi prado!

      En serio: cualquier enfoque para evaluar una integral numéricamente termina eligiendo una función aproximada para la cual la integral se puede calcular fácilmente, o eligiendo un conjunto de puntos a lo largo de la curva, evaluando la función en esos puntos y sumando rectángulos / trapezoides.

      Con redes neuronales, como splines o aproximaciones polinomiales, usa una función de aproximación. El funcionamiento de la red neuronal (suma de sigmoides pesados) depende del problema. A veces funcionará bien y otras veces será demasiado adecuado como en splines. “Usar una red neuronal” supone mucha experiencia de usuario: es como intentar ir al supermercado lo más rápido posible y “simplemente usar un auto Indy”. Podría pensar mejor en un camino más corto.

      De manera similar, la integración de Monte Carlo solo permite que un generador de números aleatorios elija sus puntos de evaluación, en lugar de usar una fórmula disciplinaria como con la regla de Simpson. Esto puede funcionar mejor, pero no hay razón para esperar que lo haga.

      Básicamente, la regla de Simpson casi siempre es suficiente. Si sabe más sobre su función particular, asegúrese de utilizar esa información.

  • Phil dice:

    Por favor ignore a las personas que publican comentarios negativos sobre el artículo aburrido o confuso. Somos muchos los que las acumulamos.

    Mas por favor ????

    • tabulo146 dice:

      Mas por favor.
      Disfruto de la idea diferente de un tema relativamente aburrido.

      • Phil dice:

        Más eficazmente; Relativamente aburrido suena fascinante. ¿Qué es eso? ¿Explotando agujeros negros para lo contrario?

  • vincz dice:

    Supongo que el volumen de la canica en el segundo párrafo es 4 / 3πr ^ 3 y no 4 / 3πr ^ 2.

    • bthy dice:

      sí, el volumen, así que la 3ª potencia, también me llamó la atención.

  • Wilbertofdelaware dice:

    “” “¿Y si cortas las bolas?” Reducir el tamaño de cada canica reduciría el espacio vacío que existe entre ellas a medida que se amontonan en el jarrón, lo que nos da un volumen general más preciso ”.

    Sin embargo, cada esfera ocupa 4/3 * pi * r ^ 3. Si las esferas están empaquetadas, existe una relación entre su volumen interno y el espacio que “dominan”, por así decirlo (donde otras esferas dominan, un volumen no se puede dividir de esta manera). espacio).

    Si esto es cierto, el límite de las esferas agrega volumen y no converge con el florero a medida que se encogen.

    ¿Alguien sabe por qué la relación no tiene que ser constante porque el tamaño disminuye en cada esfera?

    • ALINOME el A dice:

      Debido a que se vuelven infinitamente pequeños, incluso el espacio vacío, 0 * cualquier cosa es … cero

      • Marvin dice:

        Sí, pero la proporción de espacio vacío a espacio lleno seguirá siendo la misma, la única mejora son los bordes del recipiente. Entonces la solución no tiende al volumen de la cosa. Suele estar dirigido al volumen multiplicado por el factor de llenado, en este caso esferas empaquetadas al azar.

        Si piensa en mirar esferas diminutas a través de un microscopio, se ven como esferas grandes y parecen ocupar la misma proporción de espacio. Si alguien le dio una imagen que contiene solo esferas con un aumento desconocido y le pidió que calcule el tamaño de las esferas, no podría hacerlo.

        Dicho esto, si mide el volumen de arena de mármol diminuta llenando otro recipiente con un volumen de expansión fácil, como un cilindro, entonces el factor de llenado desaparece.

        Pero como explicación matemática “Reducir el tamaño de cada canica reduciría el espacio vacío que existe entre ellas a medida que se acumulan en la vasija, dándonos un volumen total más exacto”. No es cierto, porque el volumen de las esferas se reduce en proporción al volumen. del espacio (excepto los bordes).

        • Elliot Williams dice:

          @Marvin: Estás aquí. Hubiera sido más limpio si Will hubiera usado cubos. Quizás.

          El punto general es que las esferas llenan más y mejor los bordes, haciendo que el volumen de las esferas sea más y mejor una aproximación de (fracción fija de) el volumen real. Esta intuición es la misma que para los cubos, pero está deshabilitada por un factor de 3 * sqrt (2) / pi.

          Como dices, el factor está anulado. Cuando vierte arena en un jarrón y luego la vierte en un cubo (digamos) de volumen conocido, aún puede averiguar el volumen del jarrón. Lo mismo ocurre con las esferas, y las esferas más pequeñas llenarán un cubo más grande a medida que las vierte. Entonces, en ese sentido, las esferas de Will están bien.

          La parte que me muerde: si haces lo mismo con arena o agua, arena o agua física real, probablemente tengas la misma cantidad de volumen desperdiciado o más. Con un microscopio para lijar granos, no son cubos, y algunos de ellos tienen un desperdicio de espacios locos. Ciertamente a nivel atómico, a escala de electrones alrededor del núcleo, todo el espacio y nada realmente importa. Entonces, tal vez el método de vertido en otro contenedor sea la verdad básica en lugar de la aproximación matemática. (Paradoja costera y todo lo demás).

          Las “mejoras en los bordes” son todos cubos integrales cuando también se están reduciendo. ¿No es esa toda la acción?

          TL; DR: Los cubos funcionan las matemáticas abstractas (dx dy dz y todo lo demás), pero los griegos tenían canicas e intuían correctamente.

          • Alan dice:

            ¿Qué griego midió el volumen de un objeto irregular (la corona real sospechosa de contener plomo) usando agua? ¿Aristóteles? Arimimedo?

          • araneoidulo dice:

            Te daré una pista: ¡Eureka!

      • Comedias dice:

        No, no convergerá con esferas. Míralo de esa manera. Si deja el tamaño de la canica y agranda el jarrón en 100, ¿cambia la proporción de espacio vacío alrededor de las cuentas? ¿Es 10.000 veces más grande? Obviamente no.

        Necesitas un volumen diferente. Dxdydz es un cubo. Dzdr * da (esquina) es un pastel, etc. Tienen que llenar el espacio.

    • araneoidulo dice:

      Ver. El artículo debe editarse para corregir este error engañoso; como señalan otros, puede usarlo como una aproximación más precisa, pero debe medir el volumen tomado por las bolas en un recipiente regular, o necesita calcular la fracción de empaque de las bolas; no use solo el valor real volumen de mármol esférico.

  • Rico dice:

    Matemáticas de lucha callejera, se trata de codo. Trabajo hecho.

    https://mitpress.mit.edu/sites/default/files/titles/free_download/9780262514293_Street_Fighting_Mathematics.pdf

    Siga las matemáticas 🙂 Empecé a aprender modelos matemáticos últimamente y ha revivido mi interés en él. Es agradable ver cómo las cosas que aprendes de memoria en la escuela son realmente útiles para resolver o comprender mejor una gran variedad de problemas reales.

  • Un dron dice:

    Si no sabe esto cuando se gradúe de la escuela secundaria, ¡su país necesita PODER a sus maestros de escuela secundaria!

  • Stu dice:

    Me gusta esta serie, ¡sigan viniendo por favor! Aún no he leído el derivado, pero lo haré.
    Era malo en matemáticas, pero desde que descubrí la omnipresente magia de la ingeniería que es el algoritmo PID, quise entenderlo * correctamente * sin tener que arrastrarme por libros de matemáticas obsoletos.
    Por favor, dígame que la serie estará orientada a los algoritmos PID, ya que sería increíble.

  • Stu dice:

    ¡Ah, y es bastante irónico que estés usando el ejemplo de un viaje con drones cuando los drones tradicionalmente usan el algoritmo PID para preservar su orientación espacial!
    Sin embargo, veo por qué, porque no es una forma de abordar el aprendizaje de los principiantes.

    • Comedias dice:

      Interesante. Supuse que los drones usaban una combinación de filtrado PID y Kalman (que nunca entenderás, es bueno que alguien haya escrito una biblioteca).

  • Robar dice:

    Tomé cálculo 3, ecuaciones diferenciales y muchas clases de ingeniería, pero para el problema del jarrón lo pesaba vacío y nuevamente lleno de agua (preferiblemente destilada) en lugar de usar cualquier cálculo.

    • Elliot Williams dice:

      “El buque” es el volumen interno de un petrolero. O “el jarrón” es microscópico.

      Las matemáticas siguen siendo útiles incluso si tienes buenas escalas y conoces bastante bien tu gravedad local. (Los colgantes sugerirían usar una escala).

      • Robar dice:

        Te perdiste lo mío, tal vez ir en la otra dirección lo explique. Ni siquiera necesitaría una báscula o una balanza si supiera el flujo de agua que llena el recipiente y el tiempo total de flujo. Oh, espere a que no haya medidor de flujo, así que instalaré un tanque e insertaré un orificio simple de diámetro conocido para poder usar más matemáticas para encontrar la solución de cuál es el volumen de un recipiente. Cada paso que agregue al proceso puede introducir errores.

        Realmente se trata de tener la función que describe el espacio. Si se necesita más tiempo para formular la ecuación que calcular el volumen mediante medidas prácticas, está perdiendo tiempo / dinero.

        Además, el petrolero debe estar claramente marcado con capacidad, con modelos CAD o al menos bocetos disponibles del fabricante.

  • Stephen Thomas Kraus Jr. dice:

    Sinceramente, amo a todas las personas que se quejan de las matemáticas, pero luego publican sus pequeños proyectos de microcontroladores sin ironía.

    Las matemáticas son la base de casi todos los sistemas digitales que tenemos. No es “aburrido”, describe eventos y sistemas reales. Esto ayuda mucho al discutir los sistemas de análisis y sus variables.

  • M1chael987 dice:

    Ah, tengo la séptima edición de ese libro de texto en mi escritorio de mi curso de Calc la semana pasada.

Ricardo Prieto
Ricardo Prieto

Deja una respuesta

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *